Analysis I - IV by Hilgert J.

By Hilgert J.

Der vorliegende textual content ist eine vorlaufige Ausarbeitung meiner Vorlesungen research I-IV (Wintersemester 2004/2005 { Sommersemester 2006) an der Universitat Paderborn.

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Die entsprechenden Aussagen f¨ ur einseitige Stetigkeit zeigt man genauso. 4(iv) sieht man, daß es ein δ > 0 mit g(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ ]x0 −δ, x0 +δ[ ∩M =: M gibt. Damit ist die erste Aussage (f¨ ur beidseitige Stetigkeit) gezeigt. Dann rechnet man lim f (x) x→x0 g = limx→x0 f (x) f (x0 ) = = fg (x0 ), limx→x0 g(x) g(x0 ) was auch die zweite Behauptung zeigt. 1 : Sei I ein Intervall. Die Menge C(I, R) = {f ∈ F (I, R) | f stetig} ¨ ist ein Untervektorraum von F(I, R) (vgl. 3 : (i) Definiere induktiv f¨ ur n ∈ N die Funktionen pn : R → R, x → xn := x · xn−1 , wobei x1 := x ist.

S ✻ ........ s s ✲x a x0 b Wenn eine Funktion f : M → R in jedem Punkt von M stetig ist, nennt man sie stetig in M . In der Definition der (einseitigen) Stetigkeit h¨atte man den Punkt x0 auch jeweils mit in die Intervalle einbeziehen k¨onnen, weil |f (x0 ) − f (x0 )| = 0 gilt. Die hier gegebene Formulierung zielt darauf ab, den Zusammenhang mit der Definition des Grenzwerts deutlich herauszuarbeiten: Aus der Definition der Stetigkeit folgt n¨amlich unmittelbar, daß eine Funktion f : M → R dann und nur dann stetig in x0 ∈ M ist, wenn limx→x0 f (x) = f (x0 ) sofern x0 ∈ M ein H¨aufungspunkt von M ist.

Y J ✻ f −1 (x)....... ♣ ... ... . ... ... ...... ......... ............. . . . . . . . . ..... .......... ........ 4 : Sei I ein Intervall in R und f : I → R eine strikt monoton steigende (fallende) stetige Funktion. Dann gilt (i) f (I) = {f (x) | x ∈ I} ist ein Intervall. (ii) f : I → f (I) ist bijektiv. (iii) f −1 : f (I) → I ist eine strikt monoton steigende (fallende) stetige Funktion. 3 zeigt man, daß f (I) ein Intervall mit den Endpunkten inf f (I) und sup f (I) ist. Teil (ii) und die strikte Monotonie in Teil (iii) folgen sofort aus der strikten Monotonie.

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