Anschauliche kombinatorische Topologie by V. G. Boltjanskij, V. A. Efremovič (auth.)

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Ein interessantes Beispiel einer berandeten Fliiche wurde in den lahren 1862 bis 1865 in den Arbeiten der deutschen Mathematiker MOBIUS und LISTING beschrieben. Man konstruiert diese Fliiche, indem man ein rechteckiges Band (Abb. 50a) einmal verdreht (Abb. 50b, c) und danach an den Enden verheftet. Die so entstandene berandete Fliiche (Abb. 50d) heiJ3t Mobiusband. Diese Fliiche hat nur eine Seite. Wandern wir beispielsweise mit einem Pinsel um das Mobiusband he rum (Abb. 51), so gelangen wir zu genau demselben Ort, an dem wir mit dem Malen begonnen haben, aber auf der entgegengesetzten Seite.

Kann man Qi aus der Sphiire erhalten, indem man in diese einige Locher schneidet und anschlieBend einige von ihnen mit Henkeln verklebt, so ist das auch fUr Qi -1 richtig. 65 0) b) E) Es seien jetzt die Enden der Sehne aibi auf ein und derselben Komponente des Randes der Flache Qi-1 gelegen (Abb. 66). Die Flache Qi' die man beim Aufschneiden erhalt (Abb. 67), ist homoomorph zur Flache (Abb. 68), die man aus Qi -1 durch zweimaliges Aufschneiden erhiilt: Zuerst wird langs der geschlossenen Kurve I aufgeschnitten (Abb.

Klassifizierung der geschlossenen nichtorientierbaren Fliichen 67 fiinfgliedrigen geschlossenen Polygonzug erhalten (mit Oberschneidungen). Danach gliitten wir diese Polygonziige, so daB die Oberschneidungen verschwinden (und so, daB wir weiterhin als Seiten Strecken vom Typ ad haben). In jeden von diesen Polygonziigen hiingen wir eine Fliiche ein (ein Fiinfeck). Dann entsteht eine Fliiche, die aus zwolf Fiinfecken besteht, wobei die Anzahl der Knotenpunkte (wie a und d) eben falls 12 betriigt und die Anzahl der Kanten 30 ist.

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