Aufgabensammlung zur Infinitesimalrechnung: Band III: by A. Ostrowski

By A. Ostrowski

Mit diesem Band wird nunmehr meine Aufgabensammlung abgeschlossen. Es gilt dafur das im Vorwort zum Band eleven Gesagte. Bei der Herstellung des Manuskripts wurde ich in freundlicher und sach gemasser Weise von Frau Prof. R. Jeltsch-Fricker und bei den Korrekturen von Herrn cand. math. okay. Langer wirksam unterstutzt. Ihnen beiden, sowie dem Verlag, der auch diesmal freundliche Geduld und Ausdauer bewies, gilt mein aufrichtiger Dank. A. Ostrowski ABKURZUNGEN Fig. Punkt AbI. Ableitung Figur Pkt. Beh. Behauptung, Fkt. Funktion pos. positiv behaupten GI. Gleichung Stet. Stetigkeit, stetig Bew. Beweis, Int. fundamental, u. und beweisen integrieren Ungl. Ungleichung bzw. beziehungsweise Konv. Konvergenz, v. von d. der, die, das konvergieren v. Ind. vollstandige d. h. das heisst neg. negativ Induktion Div. Divergenz, m. guy vgl. vergleiche divergieren OBdA Ohne Beschr- e. ein, eine, eines kung der All- f. fur meinheit ist das image fur Majorisierung. Za. Zb. bedeutet, dass fur alle in Frage kommenden v: los angeles. l; b. gilt. AcB bedeutet: A ist eine Untermenge von B; AEB bedeutet: A ist ein aspect der Menge B. Entsprechend ist die Bedeutung von: J, three. A: =B bedeutet: A ist dfiniert als B; A=: B bedeutet: A soll mit B bezeichnet werden. AU B ist die Vereinigungsmenge von A und B. /\ bedeutet: sowohl als auch; v bedeutet: oder. [al bedeutet die ganze Zahl n mit

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B a 53. Ist

Man berechne J J x dx dy, J J y dx dy über die Fläche des halben Zykloidensegments mit dem Rand x=a(t-sin t), y=a(l-cos t); y=O; x=na. 7. Man berechne J J y2 dx dy über die Fläche eines oberhalb der Rollgeraden y=O liegenden, an den Ursprung anstoßenden Zykloidenbogens. 8. Man berechne J J y2 dx dy über den von den Linien y2=2px, y=O, x=xo berandeten Bereich. 9. Man berechne J J x dx dy, J J y dx dy über den Bereich X 2/ 3 + y2/3 ~ a2/ 3 , x ~ 0, y ~ O. *** 10. Sind f(P), g(P) längs eines stückweise glatten Bogens C, der vom Anfangspunkt P' nach dem Endpunkt pli läuft, definiert und nach der Bogenlänge von C stückweise stetig differenzierbar, so gilt Jfdg =f(PII)g(PII)-f(P')g(P')- J gdj: c c 11.

Integration irrationaler Ausdrücke 19. a) I 20. a) a) b) I IY~ dx, yx-b a) b) , 4+Yx a) 26. X-l1 dx, x+ I I b) dx x 2[1 + y'-;-(x---:"I::-;")/(:--x-+=1)] 3 2+x d x. Y3-x I 3 I 27. IX2V~~~ dx. dx 3 • (X-I)Yx b) 3 25. y2x"=1 dx. x(x-l) dx. IV~~~ dx, 1- d~ IV dx Y . (x-I) x b) I (x+ I) IV~~~~dX. 23. 24. dx, I Ytz=X 21. 22. Yx x+ I X2 4 dx. Y2x+I 3 Y=(8::-+----:2::-x)=2 d 3x x. 28. I 29. )1 30. 31. 32. a I I 3 r-:---:-= (X+I)5d (X_I)2 X, -=X=3=dX. YI +X8 X2 4 dx. yx3 +1 I'Y-::=:9 =~=4=X4:;=dx. b)1 dx 3 y'-'-(X-_-I=)2:-:-(x-+--:-:-I) Aufgaben I 33.

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