Das Geheimnis der transzendenten Zahlen: Eine etwas andere by Fridtjof Toenniessen

By Fridtjof Toenniessen

Used to be ist Mathematik? used to be macht sie so spannend? Und wie forschen Mathematiker eigentlich? Das Geheimnis der transzendenten Zahlen ist eine Einführung in die Mathematik, bei der diese Fragen im Zentrum stehen. Sie brauchen dazu keine Vorkenntnisse. Aufbauend auf den natürlichen Zahlen 0,1,2,3,... beginnt eine Reise durch verschiedene Gebiete dieser lebendigen Wissenschaft. Ziel der Reise sind die großen Entdeckungen, mit denen Jahrtausende alte Rätsel aus der Antike gelöst wurden. Den roten Faden bildet die berühmte Frage nach der Quadratur des Kreises, die eng mit transzendenten Zahlen verbunden ist. Das Buch zeigt, wie Mathematiker mit Neugier forschen, immer neue Fragen stellen und dabei überraschende Zusammenhänge finden. Es richtet sich an Studierende, Lehrer, Schüler und Laien, die auch auf diesen Pfaden wandeln wollen.

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Vielleicht haben einige von Ihnen schon intuitiv eine Vorstellung entwickelt, was so eine Klasse (a, b) anschaulich bedeutet? Sie bedeutet in der Anschauung so etwas wie „a − b“, und damit die Konstruktion später funktioniert, müssen wir die Multiplikation so definieren, dass sie mit dieser Vorstellung konform geht. Denn es ist (a − b) · (c − d) = (ac + bd) − (ad + bc). Beweise für die Primzahlvermutungen 41 Um Sie jetzt nicht zu lange aufzuhalten, fasse ich mich kurz: Sie können anhand dieser Definition leicht nachrechnen, dass 1.

Es ist eine Abbildung, die zwei Variablen entgegennimmt, also ein Produkt von Mengen als Definitionsmenge hat: dist : Z × Z → N , (a, b) → | a − b | . Dieser anschauliche Distanzbegriff wird später erweitert und uns an vielen Stellen nützlich sein. Sie können aus den Eigenschaften des Betrags sofort ableiten, dass 1. 2. 3. dist(a, b) = 0 ⇔ a = b , dist(a, b) = dist(b, a) , dist(a, c) ≤ dist(a, b) + dist(b, c) . Die Abzählbarkeit unendlicher Mengen Da wir gerade bei den Abbildungen sind, möchte ich noch kurz einen weiteren Begriff einführen, der damit eng zusammenhängt.

Perr = pρρ ρ=1 einer natürlichen Zahl n ≥ 2 sind die Primzahlen pρ und ihre Exponenten eρ , e mithin alle Faktoren pρρ bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt. Wir werden diese Vermutungen im übernächsten Kapitel beweisen können, wenn wir die natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitert haben. Die Primzahlen spielen auch in vielen bis heute offenen Vermutungen der Mathematik eine Rolle. Ein Beispiel ist die sogenannte Goldbach-Vermutung, wonach alle geraden natürlichen Zahlen ≥ 4 die Summe von zwei Primzahlen sein sollen.

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